Для чего людям целые числа. Целые числа

Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Число 0 не является натуральным. Оно и в истории математики имеет свою отдельную историю и появилось много позже натуральных чисел.]

Множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, ...) обозначают буквой N.

Целые числа

Со сложением всё понятно: сложив любые два натуральных числа, в результате всегда получим тоже натуральное число. А вот в вычитании обнаруживаем, что из меньшего отнять большее так, чтобы в результате получилось натуральное число, мы не можем. (3 − 5 = чему?) Здесь возникает идея отрицательных чисел. (Отрицательные числа уже не являются натуральными)

На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. (Три предмета можно показать на пальцах, десять можно показать, тысячу предметов можно представить по аналогии. А что такое "минус три мешка"? — В то время числа хоть уже и использовались сами по себе, в отрыве от конкретных предметов, количество которых они обозначают, всё ещё были в сознании людей гораздо ближе к этим конкретным предметам, чем сегодня.) Но, как и возражения, так и основной аргумент в пользу отрицательных чисел, пришел из практики: отрицательные числа позволяли удобно вести счет долгам. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна. Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.

В итоге, отрицательные числа появились в математике, и теперь у нас есть бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, ...) и есть такое же количество им противоположных (−1, −2, −3, −4, ...). Добавим к ним ещё 0. И множество всех этих чисел будем называть целыми.

Определение: Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z.

Любые два целых числа можно вычесть друг из друга или сложить и получить в результате целое число.

Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения. Если у нас есть 7 мешков по 6 килограмм, мы можем складывать 6+6+6+6+6+6+6 (семь раз прибавлять к текущей сумме по 6), а можем просто помнить, что такая операция всегда будет давать в результате 42. Как и сложение шести семерок 7+7+7+7+7+7 тоже всегда будет давать 42.

Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения. Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. (Которое распространяется и на десятичные дроби, и которое будет рассматриваться в одной из следующих статей.) При умножении любых двух целых чисел друг на друга всегда получим в результате целое число.

Рациональные числа

Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма. А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.

А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.

А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42. Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей. В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.

Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.

Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).

Обыкновенные и десятичные дроби

Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.

Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби. Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001). Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.

Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).

Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).

Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.

Действительные числа

Какие же это числа? Мы ещё не рассмотрели операцию возведения в степень. Например, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Как умножение представляет собой более удобную форму записи и вычисления сложения, так и возведение в степень – это форма записи умножения одного и того же числа самого на себя определенное количество раз.

Но теперь рассмотрим операцию, обратную возведению в степень – извлечение корня. Квадратный корень из 16 – это число, которое в квадрате даст 16, то есть число 4. Квадратный корень из 9 – это 3. А вот квадратный корень из 5 или из 2, например, не может быть представлен рациональным числом. (Доказательство этого утверждения, другие примеры иррациональных чисел и их историю можно посмотреть, например, в Википедии)

В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней). Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное.

Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.

Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.

В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости.
Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом. (Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).)
А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.

Целые числа - это натуральные числа , а также противоположные им числа и нуль.

Целые числа — расширение множества натуральных чисел N , которое получается путем добавления к N 0 и отрицательных чисел типа − n . Множество целых чисел обозначают Z .

Сумма , разность и произведение целых чисел дают снова целые числа, т.е. целые числа составляют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Целые числа на числовой оси:

Сколько целых чисел? Какое количество целых чисел? Самого большого и самого маленького целого числа нет. Этот ряд бесконечен. Наибольшее и наименьшее целое число не существует.

Натуральные числа еще называются положительными целыми числами , т.е. фраза «натуральное число» и «положительное целое число» это одно и то же.

Ни обыкновенные, ни десятичные дроби не являются целыми числами. Но существуют дроби с целыми числами.

Примеры целых чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 и так далее.

Говоря простым языком, целые числа - это (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - последовательность целых чисел. То есть те, у которых дробная часть ({}) равна нулю. Они не имеют долей.

Натуральные числа - это целые, положительные числа. Целые числа, примеры : (1,2,3,4...+ ∞).

Операции над целыми числами.

1. Сумма целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с одинаковыми знаками, необходимо сложить модули этих чисел и перед суммой поставить итоговый знак.

Пример:

(+2) + (+5) = +7.

2. Вычитание целых чисел.

Для сложения двух целых чисел с разными знаками, необходимо из модуля числа, которое больше вычесть модуль числа, которое меньше и перед ответом поставить знак большего числа по модулю.

Пример:

(-2) + (+5) = +3.

3. Умножение целых чисел.

Для умножения двух целых чисел, необходимо перемножить модули этих чисел и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (-) - если разного.

Пример:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Когда умножаются несколько чисел, знак произведения будет положительным, если число неположительных сомножителей чётное, и отрицателен, если нечётное.

Пример:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 неположительных сомножителя).

4. Деление целых чисел.

Для деления целых чисел, необходимо поделить модуль одного на модуль другого и поставить перед результатом знак «+», если знаки чисел одинаковые, и минус, - если разные.

Пример:

(-12) : (+6) = -2.

Свойства целых чисел.

Z не замкнуто относительно деления 2-х целых чисел (например, 1/2 ). Ниже приведенная таблица показывает некоторые основные свойства сложения и умножения для любых целых a, b и c .

Из таблицы можно сделать вывод, что Z - это коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения.

Стандартное деление не существует на множестве целых чисел, но есть т.н деление с остатком : для всяких целых a и b , b≠0 , есть один набор целых чисел q и r , что a = bq + r и 0≤r<|b| , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b . Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток.

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N .

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными , например, +1 и -1, +5 и -5. Знак "+" обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит "+". Такие числа называются положительными . Числа, перед которыми стоит знак "-", называются отрицательными .

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z .

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби. Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q . Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J .

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R .

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123... . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.

Информация этой статьи формирует общее представление о целых числах . Сначала дано определение целых чисел и приведены примеры. Далее рассмотрены целые числа на числовой прямой, откуда становится видно, какие числа называются целыми положительными числами, а какие – целыми отрицательными. После этого показано, как при помощи целых чисел описываются изменения величин, и рассмотрены целые отрицательные числа в смысле задолженности.

Навигация по странице.

Целые числа – определение и примеры

Определение.

Целые числа – это натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным.

Определение целых чисел утверждает, что любое из чисел 1 , 2 , 3 , …, число 0 , а также любое из чисел −1 , −2 , −3 , … является целым. Теперь мы легко можем привести примеры целых чисел . Например, число 38 – целое, число 70 040 – тоже целое, нуль – целое число (напомним, что нуль НЕ является натуральным числом, нуль – целое число), числа −999 , −1 , −8 934 832 – также являются примерами целых чисел.

Все целые числа удобно представлять как последовательность целых чисел, которая имеет следующий вид: 0, ±1, ±2, ±3, … Последовательность целых чисел можно записать и так: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Из определения целых чисел следует, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Поэтому, любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.

Целые числа на координатной прямой

Определение.

Целые положительные числа – это целые числа, которые больше нуля.

Определение.

Целые отрицательные числа – это целые числа, которые меньше нуля.

Целые положительные и отрицательные числа можно также определить по их положению на координатной прямой. На горизонтальной координатной прямой точки, координатами которых являются целые положительные числа, лежат правее начала отсчета. В свою очередь точки с целыми отрицательными координатами располагаются левее точки O .

Понятно, что множество всех целых положительных чисел представляет собой множество натуральных чисел. В свою очередь множество всех целых отрицательных чисел – это множество всех чисел, противоположных натуральным числам.

Отдельно обратим Ваше внимание на то, что любое натуральное число мы можем смело назвать целым, а любое целое число мы НЕ можем назвать натуральным. Натуральным мы можем назвать лишь любое целое положительное число, так как целые отрицательные числа и нуль не являются натуральными.

Целые неположительные и целые неотрицательные числа

Дадим определения целых неположительных чисел и целых неотрицательных чисел.

Определение.

Все целые положительные числа вместе с числом нуль называют целыми неотрицательными числами .

Определение.

Целые неположительные числа – это все целые отрицательные числа вместе с числом 0 .

Другими словами, целое неотрицательное число – это целое число, которое больше нуля, либо равно нулю, а целое неположительное число – это целое число, которое меньше нуля, либо равно нулю.

Примерами целых неположительных чисел являются числа −511 , −10 030 , 0 , −2 , а в качестве примеров целых неотрицательных чисел приведем числа 45 , 506 , 0 , 900 321 .

Наиболее часто термины «целые неположительные числа» и «целые неотрицательные числа» используют для краткости изложения. Например, вместо фразы «число a целое, причем a больше нуля или равно нулю» можно сказать «a – целое неотрицательное число».

Описание изменения величин при помощи целых чисел

Пришло время поговорить о том, для чего вообще нужны целые числа.

Основное предназначение целых чисел заключается в том, что с их помощью удобно описывать изменение количества каких-либо предметов. Разберемся с этим на примерах.

Пусть на складе находится некоторое количество деталей. Если на склад привезут еще, к примеру, 400 деталей, то количество деталей на складе увеличится, а число 400 выражает это изменение количества в положительную сторону (в сторону увеличения). Если же со склада заберут, например, 100 деталей, то количество деталей на складе уменьшится, а число 100 будет выражать изменение количества в отрицательную сторону (в сторону уменьшения). На склад не будут привозить детали, и не будут увозить детали со склада, то можно говорить о неизменности количестве деталей (то есть можно будет говорить о нулевом изменении количества).

В приведенных примерах изменение количества деталей можно описать при помощи целых чисел 400 , −100 и 0 соответственно. Положительное целое число 400 показывает изменение количества в положительную сторону (увеличение). Отрицательное целое число −100 выражает изменение количества в отрицательную сторону (уменьшение). Целое число 0 показывает, что количество осталось без изменения.

Удобство использования целых чисел по сравнению с использованием натуральных чисел заключается в том, что не нужно явно указывать увеличивается количество или уменьшается, - целое число определяет изменение количественно, а знак целого числа указывает направление изменения.

Целые числа также могут выражать не только изменение количества, но и изменение какой-либо величины. Разберемся с этим на примере изменения температуры.

Повышение температуры, скажем, на 4 градуса выражается положительным целым числом 4 . Понижение температуры, например, на 12 градусов можно описать отрицательным целым числом −12 . А неизменность температуры – это ее изменение, определяемое целым числом 0 .

Отдельно нужно сказать о трактовке отрицательных целых чисел как величины долга. Например, если у нас есть 3 яблока, то целое положительное число 3 показывает количество яблок, которыми мы владеем. С другой стороны, если мы должны кому-либо отдать 5 яблок, а у нас их нет в наличии, то эту ситуацию можно описать при помощи отрицательного целого числа −5 . В этом случае мы «обладаем» −5 яблоками, знак минус указывает на долг, а число 5 определяет долг количественно.

Понимание отрицательного целого числа в качестве долга позволяет, например, обосновать правило сложения отрицательных целых чисел . Приведем пример. Если кто-то должен 2 яблока одному человеку и одно яблоко – другому, то общий долг составляет 2+1=3 яблока, поэтому −2+(−1)=−3 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел .

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами . А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

– это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.


Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.